Question

對于給定數(shù)列，如果存在實常數(shù)使得對于任意都成立，我們稱數(shù)列是 “M類數(shù)列”．

（1）若，，，數(shù)列、是否為“M類數(shù)列”？若是，指出它對應(yīng)的實常數(shù)，若不是，請說明理由；

（2）證明：若數(shù)列是“M類數(shù)列”，則數(shù)列也是“M類數(shù)列”；

（3）若數(shù)列滿足，，為常數(shù)．求數(shù)列前項的和．并判斷是否為“M類數(shù)列”，說明理由；

（4）根據(jù)對（2）（3）問題的研究，對數(shù)列的相鄰兩項、，提出一個條件或結(jié)論與“M類數(shù)列”概念相關(guān)的真命題，并探究其逆命題的真假．

Answer 1

（1）是，（2）（3）（4）證明略

解析:

（1）因為則有

故數(shù)列是“M類數(shù)列”， 對應(yīng)的實常數(shù)分別為． ……………………………2分

因為，則有  

故數(shù)列是“M類數(shù)列”， 對應(yīng)的實常數(shù)分別為． ……………………………4分

（2）證明：若數(shù)列是“M類數(shù)列”， 則存在實常數(shù)，

使得對于任意都成立，

且有對于任意都成立， …………………………………………6分

因此對于任意都成立，

故數(shù)列也是“M類數(shù)列”．          …………………………………………8分

對應(yīng)的實常數(shù)分別為．  ……………………………………………………………9分

（3）因為  則有，，

，       

故數(shù)列前項的和

++++

 ………………11分

若數(shù)列是“M類數(shù)列”， 則存在實常數(shù)

使得對于任意都成立，

且有對于任意都成立，

因此對于任意都成立，

而，且

則有對于任意都成立，可以得到，

（1）當(dāng)時，，，，經(jīng)檢驗滿足條件。

（2）當(dāng) 時，，，經(jīng)檢驗滿足條件。

因此當(dāng)且僅當(dāng)或，時，數(shù)列也是“M類數(shù)列”。 對應(yīng)的實常數(shù)分別為, 或．          ………………………………………………………………14分

（4）命題一：若數(shù)列是“M類數(shù)列”，則數(shù)列也是“M類數(shù)列”．

逆命題：若數(shù)列是“M類數(shù)列”，則數(shù)列也是“M類數(shù)列”．

當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)列是常數(shù)列、等比數(shù)列時，逆命題是正確的．

命題二：若數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列、、、 是“M類數(shù)列”

逆命題：若數(shù)列、、、是“M類數(shù)列” 則數(shù)列 是等比數(shù)列．逆命題是正確的．

命題三：若數(shù)列是“M類數(shù)列”， 則有或．

逆命題：若或，則數(shù)列是“M類數(shù)列”

 若，當(dāng)且僅當(dāng)時逆命題是正確的．

 若，當(dāng)且僅當(dāng)時逆命題是正確的．

（命題給出2分，逆命題寫出2分，說明逆命題真假2分）