Question

設(shè)直線l₁和l₂相交于點R，l₁⊥l₂，M、N∈l₁，|MN|=4，M分

RN

所成比為

5

4

，記到點N的距離比它到直線l₂的距離小1的點的軌跡為曲線C，在曲線C上取點A₁，B₁，A₂
B₂，p₁、p₂分別是A₁B₁和A₂B₂的中點，且A₁B₁⊥A₂B₂．
（1）求曲線C的方程；
（2）求點p₁和p₂到直線l₁距離的乘積．

Answer 1

分析：（1）先以l₁為x軸，過M且垂直于l₁的直線為y的軸，建立直角坐標(biāo)系根據(jù)題意可求得曲線的方程．
（2）由（1）可設(shè)A₁，B₁，A₂，B₂的坐標(biāo)，即研究A₁B₁和A₂B₂的中點縱坐標(biāo)絕對值之積．

解答：解：（1）以l₁為x軸，過M且垂直于l₁的直線為y的軸，
建立直角坐標(biāo)系，點M為坐標(biāo)原點，此時，
點N的坐標(biāo)為（4，0），直線l₂的方程為x+5=0．
由題意可知．曲線方程是y²=16x．

（2）設(shè)A₁，B₁，A₂，B₂的坐標(biāo)依次為：
（

y12

16

，y₁），（

y22

16

，y2），（

y32

16

，y3），（

y43

16

，y4）．
若y₁²=y₂²，由于A₁，B₁是不同點，
∴y₁=-y₂≠0，
∴AB⊥x軸，從而A₂B₂∥x軸．
由于平行于x軸的直線與拋物線只能有一個交點矛盾，
∴y₁²≠y₂²，
同理y₃²≠y₄²，
A₁B₁斜率為

16

y1+y2

，
A₂B₂的斜率為

16

y3 +y4

．
由于A₁B₁⊥A₂B₂
得（y₁+y₂）（y₃+y₄）=-16²．
因P₁，P₂的縱坐標(biāo)分別為

y1+ y2

2

，

y3+y4

2

，
∴它們的乘積為（

y1+ y2

2

）（

y3+y4

2

）=-64，
點P₁和P₂到直線l₁的距離的乘積為64．

點評：本師主要考查直角坐標(biāo)系的建立及曲線方程的求法和應(yīng)用．