Question

已知函數(shù)g（x）=aln x·f（x）=x3 +x2+bx

（1）若f（x）在區(qū)間[1，2]上不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)b的范圍；

（2）若對任意x∈[1，e]，都有g(shù)（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）當(dāng)b=0時，設(shè)F（x）=，對任意給定的正實數(shù)a，曲線y=F（x）上是否存在兩點P，Q，使得△POQ是以O(shè)（O為坐標(biāo)原點）為直角頂點的直角三角形，而且此三角形斜邊中點在y軸上？請說明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）;（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因為在區(qū)間不單調(diào)，所以導(dǎo)函數(shù)的值不恒大于或小于0，即函數(shù)的最大值大于0，函數(shù)的最小值小于0，即不單調(diào)；

（2）根據(jù)條件化簡得，，，求出， 的最小值即可確定的范圍,首先對函數(shù)求導(dǎo)，確定單調(diào)性，求出最值；

（3）先假設(shè)曲線上存在兩點滿足題意，設(shè)出，則，從而由是以O(shè)（O為坐標(biāo)原點）為直角頂點的直角三角形可建立關(guān)系式，分情況求解即可．

試題解析：（1）由

得 因在區(qū)間[1，2]上不是單調(diào)函數(shù)

所以在[1，2]上最大值大于0，最小值小于0

∴ 4分

（2）由，得．

，且等號不能同時取，，即

恒成立，即 6分

令，求導(dǎo)得，，

當(dāng)時，，從而，

在上為增函數(shù)，，

． 8分

（3）由條件，，

假設(shè)曲線上存在兩點，滿足題意，則，只能在軸兩側(cè)， 9分

不妨設(shè)，則，且．

是以為直角頂點的直角三角形，，

（*），

是否存在，等價于方程在且時是否有解．

①若時，方程為，化簡得，此方程無解； 12分

②若時，方程為，即，

設(shè)，則，

顯然，當(dāng)時，，即在上為增函數(shù)，

的值域為，即，當(dāng)時，方程（*）總有解．

對任意給定的正實數(shù)，曲線 上總存在兩點，，使得是以（為坐標(biāo)原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上． 14分

考點：1.利用導(dǎo)數(shù)求最大，最小值；2.導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.