Question

對于正項數(shù)列{a_n}，若

an+1

an

≥q對一切n∈N^*恒成立，則an≥a1•qn-1對n∈N*也恒成立是真命題．
（1）若a₁=1，a_n＞0，且

an+1

an

≥3c(c≠

1

3

，c≠1)，求證：數(shù)列{a_n}前n項和Sn≥

1-(3c)n

1-3c

；
（2）若x₁=4，xn=

2xn-1+3

(n≥2，n∈N*)，求證：3-(

2

3

)n-1≤xn≤3+(

2

3

)n-1．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式

分析：（1）首先對關(guān)系式進(jìn)行恒等變換，進(jìn)一步利用等比數(shù)列的前n項和公式求解．
（2）先對不等式進(jìn)行恒等變換，然后求出結(jié)果．

解答： 證明：（1）∵

an+1

an

≥3c，
∴an≥a1•(3c)n-1，
∴a2≥3c，a3≥9c2，…an≥(3c)n-1，
Sn=a1+a2+…+an≥1+3c+9c2+(3c)n-1，
∴Sn≥

1-(3c)n

1-3c

；                                                          
（2）|xn-3|=|

2xn-1+3

-3|=|

( 2xn-1+3 -3)( 2xn-1+3 +3)

2xn-1+3 +3

|=

2|xn-1-3|

2xn-1+3 +3

，
∴|xn-3|≤

2

3

|xn-1-3|，
∴|xn-3|≤|x1-3|•(

2

3

)n-1，
∴|xn-3|≤(

2

3

)n-1
∴3-(

2

3

)n-1≤xn≤3+(

2

3

)n-1．

點評：本題考查的知識要點：數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用，不等式的恒等變換問題，屬于中等題型．