Question

已知一個圓錐的側面積是它的內(nèi)切球的表面積的2倍，求它的側面積與底面積的比．

Answer 1

考點：旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）

專題：空間位置關系與距離

分析：設圓錐的母線長為l，底面半徑為r，高為h，內(nèi)切球半徑為R，內(nèi)切球半徑為R，則圓錐的側面積與底面積的比為

l

r

，結合圓錐的側面積是它的內(nèi)切球的表面積的2倍，構造關于

l

r

的方程，解方程可得答案．

解答： 解：設圓錐的母線長為l，底面半徑為r，高為h，
則圓錐的側面積S_側=πrl，
底面積S_底=πr²，
∴圓錐的側面積與底面積的比為

l

r

=

1

cost

（其中t為側面與底面夾角）
設內(nèi)切球半徑為R，
則圓錐的內(nèi)切球面積S_球=4πR²，
∵圓錐的側面積是它的內(nèi)切球的表面積的2倍，
∴πrl=8πR²，即rl=8R²，
又∵

R

r

=tan

t

2

，
∴

l

r

=8tan²（

t

2

）=

8(1-cost)

1+cost

=

8(1- 1 l r )

1+ 1 l r

解得：

l

r

=

7- 17

2

點評：本題綜合考查有關扇形和圓錐的相關計算．解題思路：解決此類問題時要緊緊抓住兩者之間的兩個對應關系：（1）圓錐的母線長等于側面展開圖的扇形半徑；（2）圓錐的底面周長等于側面展開圖的扇形弧長．正確對這兩個關系的記憶是解題的關鍵．