Question

【題目】已知橢圓C：的離心率為，左、右頂點分別為A，B，點M是橢圓C上異于A，B的一點，直線AM與y軸交于點P．

（Ⅰ）若點P在橢圓C的內部，求直線AM的斜率的取值范圍；

（Ⅱ）設橢圓C的右焦點為F，點Q在y軸上，且∠PFQ=90°，求證：AQ∥BM．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（-，0）（0，）（Ⅱ）詳見解析

【解析】

（Ⅰ）根據題意可得得c2＝a2﹣2，由e，解得即可出橢圓的方程，再根據點在其內部，即可線AM的斜率的取值范圍，

（Ⅱ）題意F（，0），設Q（0，y1），M（x0，y0），其中x0≠±2，則1，可得直線AM的方程y（x+2），求出點Q的坐標，根據向量的數量積和斜率公式，即可求出kBM﹣kAQ＝0，問題得以證明

解：（Ⅰ）由題意可得c2=a2-2，

∵e==，

∴a=2，c=，

∴橢圓的方程為+=1，

設P（0，m），由點P在橢圓C的內部，得-＜m＜，

又∵A（-2，0），

∴直線AM的斜率kAM==∈（-，），

又M為橢圓C上異于A，B的一點，

∴kAM∈（-，0），（0，），

（Ⅱ）由題意F（，0），設Q（0，y1），M（x0，y0），其中x0≠±2，

則+=1，

直線AM的方程為y=（x+2），

令x=0，得點P的坐標為（0，），

由∠PFQ=90°，可得=0，

∴（-，）（-，y1）=0，

即2+y1=0，

解得y1=-，

∴Q（0，-），

∵kBM=，kAQ=-，

∴kBM-kAQ=+=0，

故kBM=kAQ，即AQ∥BM