Question

3．已知函數(shù)f（x）=3^ax-4^bx且a=log₃2，又函數(shù)y=log_c（x+1）+1（c＞0且c≠1）圖象恒過定點的縱坐標(biāo)為b．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)y=f（x）在[-1，1]內(nèi)的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)x=0，則y=log_c（x+1）+1=1恒成立，可得b值，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得f（x）的解析式；
（2）令t=2^x，則4^x=t²，當(dāng)x∈[-1，1]時，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，y=f（x）=t-t²，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)y=f（x）在[-1，1]內(nèi)的值域．

解答 解：（1）令x=0，則y=log_c（x+1）+1=1恒成立，
故函數(shù)y=log_c（x+1）+1（c＞0且c≠1）圖象恒過定點（0，1），
即b=1，
又∵a=log₃2，
∴函數(shù)f（x）=3^ax-4^bx=${3}^{{log}_{3}2•x}-{4}^{x}$=2^x-4^x；
（2）令t=2^x，則4^x=t²，
當(dāng)x∈[-1，1]時，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，y=f（x）=t-t²，
∵y=t-t²的圖象是開口朝下，且以t=$\frac{1}{2}$為對稱軸的拋物線，
故當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)取最大值$\frac{1}{4}$，當(dāng)t=2時，函數(shù)取最小值-2，
故函數(shù)y=f（x）在[-1，1]內(nèi)的值域為[-2，$\frac{1}{4}$]．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．