Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{{{{（x+r）}^2}}}$（a＞0，r＞0）
（1）求f（x）的定義域，并討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若$\frac{a}{r}$=400，求f（x）在（0，+∞）內(nèi)的極值．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)令分母不為0即得f（x）的定義域，通過(guò)求導(dǎo)即得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）通過(guò)（1）知x=r是f（x）的極大值點(diǎn)，計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{{{{（x+r）}^2}}}$（a＞0，r＞0），
∴x≠-r，即f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-r）∪（-r，+∞）．
又∵f（x）=$\frac{ax}{{{{（x+r）}^2}}}$=$\frac{ax}{{x}^{2}+2rx+{r}^{2}}$，
∴f′（x）=$\frac{a（{x}^{2}+2rx+{r}^{2}）-ax（2x+2r）}{（{x}^{2}+2rx+{r}^{2}）^{2}}$=$\frac{a（r-x）（x+r）}{（x+r）^{4}}$，
∴當(dāng)x＜-r或x＞r時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)-r＜x＜r時(shí)，f′（x）＞0；
因此，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：（-∞，-r）、（r，+∞），遞增區(qū)間為：（-r，r）；
（2）由（1）的解答可得f′（x）=0，f（x）在（0，r）上單調(diào)遞增，在（r，+∞）上單調(diào)遞減，
∴x=r是f（x）的極大值點(diǎn)，
∴f（x）在（0，+∞）內(nèi)的極大值為f（r）=$\frac{ar}{（2r）^{2}}$=$\frac{a}{4r}$=$\frac{400}{4}$=100．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的定義域、單調(diào)區(qū)間、極值，注意解題方法的積累，屬于中檔題．