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如圖,從山腳下P處經(jīng)過(guò)山腰N到山頂M拉一條電纜,PN的長(zhǎng)為a米,NM的長(zhǎng)為2a米,在P處測(cè)得M、N的仰角分別為45°,30°,在N處測(cè)得M的仰角為30°.
(1)求此山的高度;
(2)試求平面PMN與水平面所成角的余弦值.
分析:(1)過(guò)M作MA垂直過(guò)P的水平面于A,過(guò)N作NB垂直過(guò)P的水平面于B,則MA∥NB,連接AB,PA,PM,PB,過(guò)N作NH⊥MA于H,可得:四凌錐P-ABNM的底面ABNM為直角梯形,從而可求山的高度;
(2)解法1:利用面積射影法,分別求得S△MNP=
1
2
NP•NM•
1-cos2∠PNM
=
3
7
8
a2
,
S△ABP=
1
2
AP•PB=
3
3
8
a2
,從而可求平面PMN與水平面所成角的余弦值;
解法2:以A為原點(diǎn)AB、AM分別為y、z軸建立直角坐標(biāo)系,求出平面MNP的一個(gè)法向量
n
=(1,
3
3
,1)
,水平面PAB的一個(gè)法向量
m
=
AM
=(0,0,
3
2
)
,利用向量的夾角公式,即可求得平面PMN與水平面所成角的余弦值;
解法3:設(shè)直線MN與AB交于點(diǎn)C,連PC,過(guò)B作BD垂直于PC于點(diǎn)D,連ND.則∠NDB為所求二面角的平面角,可求得tan∠NDB=
2
3
3
,從而可得平面PMN與水平面所成角的余弦值.
解答:解:(1)如圖,過(guò)M作MA垂直過(guò)P的水平面于A,過(guò)N作NB垂直過(guò)P的水平面于B,則MA∥NB
連接AB,PA,PM,PB,過(guò)N作NH⊥MA于H,
依題意得:四凌錐P-ABNM的底面ABNM為直角梯形,∠NPB=30°,∠MPA=45°,∠MNH=30°,
NB=NPsin30°=
1
2
a,MH=
1
2
MN=a

山高MA=MH+HA=MH+NB=
1
2
MN+
1
2
NP=
3
2
a
米         
(2)
解法1:設(shè)平面PMN與水平面所成角為θ,則AP=MA=
3
2
a,MP=
3
2
2
a,AB=
3
a,PB=
3
2
a

△MNP中,cos∠MNP=
NP2+NM2-MN2
2NP•NM
=
1
8

S△MNP=
1
2
NP•NM•
1-cos2∠PNM
=
3
7
8
a2
,
∵△APB為直角三角形,∴S△ABP=
1
2
AP•PB=
3
3
8
a2

cosθ=
S△ABP
S△MPN
=
21
7

解法2:以A為原點(diǎn)AB、AM分別為y、z軸建立直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)a=1,則M(0,0,
3
2
),N(0,
3
,
1
2
),P(
3
4
,
3
3
4
,0)

PM
=(-
3
4
,-
3
3
4
3
2
),
PN
=(-
3
4
,
3
4
,
1
2
)

設(shè)平面MNP的一個(gè)法向量
n
=(x,y,z)
,則
n
PM
=0
n
PN
=0

-
3
4
x-
3
3
4
y+
3
2
z=0
-
3
4
x+
3
4
y+
1
2
z=0
令x=1,解得
n
=(1,
3
3
,1)

又水平面PAB的一個(gè)法向量
m
=
AM
=(0,0,
3
2
)
,
設(shè)平面PMN與水平面所成角為θ,則|cosθ|=
|
m
n
|
|
m
|•|
n
|
=
3
2
•1
3
2
1+
1
3
+1
=
21
7
,
∴平面PMN與水平面所成角的余弦值為
21
7

解法3:設(shè)直線MN與AB交于點(diǎn)C,連PC,過(guò)B作BD垂直于PC于點(diǎn)D,連ND.
則∠NDB為所求二面角的平面角                    
由MA∥NB,MA=
3
2
a,NB=
1
2
a
BC=
3
2
a,BD=
3
4
a
tan∠NDB=
2
3
3
,
cos∠NDB=
21
7

∴平面PMN與水平面所成角的余弦值為
21
7
點(diǎn)評(píng):本題主要考查空間線面關(guān)系、空間角、解三角形等基礎(chǔ)知識(shí);考查空間想象能力,考查運(yùn)算求解能力以及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力;考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.
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