Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，點(diǎn)P(

3

，

1

2

)在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)Q（2，0），作兩條互相垂直的動(dòng)直線QA、QB，分別交橢圓C于 A、B兩點(diǎn)，求證：直線AB必過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用離心率以及點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的方程，abc的關(guān)系，求出ab，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）法一：設(shè)直線QA的方程為y=k（x-2）（k≠0），求出直線QB的方程為y=-

1

k

(x-2)，將直線QA的方程為y=k（x-2）（k≠0）代入橢圓方程整理，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x_A，y_A），B點(diǎn)坐標(biāo)為（x_B，y_B），通過(guò)韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)直線AB，然后推出無(wú)論k取何值，直線AB必過(guò)定點(diǎn)(

6

5

，0)．
法二：通過(guò)去特殊值直線QA的斜率分別為1和-

3

，得到直線AB的方程，兩直線的交點(diǎn)為P(

6

5

，0)，由法一得A(

8k2-2

1+4k2

，

-4k

1+4k2

)．B(

8-2k2

4+k2

，

4k

4+k2

)，求出kPA=

5k

4(1-k2)

，kPB=

5k

4(1-k2)

，利用A、B、P三點(diǎn)共線，推出直線AB過(guò)定點(diǎn)(

6

5

，0)．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得

c

a

=

3

2

，

3

a2

+

( 1 2 )2

b2

=1，
a²=b²+c²
解得a=2，b=1，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）法一：
設(shè)直線QA的方程為y=k（x-2）（k≠0），則直線QB的方程為y=-

1

k

(x-2)．…（5分）
將直線QA的方程為y=k（x-2）（k≠0）代入橢圓方程整理可得
（1+4k²）x²-16k²x+16k²-4=0△=（16k²）²-4•（1+4k²）•（16k²-4）=1＞0…（6分）
設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x_A，y_A），B點(diǎn)坐標(biāo)為（x_B，y_B），則2xA=

16k2-4

1+4k2

所以xA=

8k2-2

1+4k2

yA=k(xA-2)=

-4k

1+4k2

…（7分）
同理可得xB=

8-2k2

4+k2

，yB=

4k

4+k2

所以kAB=

yA-yB

xA-xB

=

5k

4(1-k2)

故直線AB的方程為：y+

4k

1+4k2

=

5k

4(1-k2)

(x-

8k2-2

1+4k2

)，…（8分）y+

4k

1+4k2

=

5kx

4(1-k2)

-

5k(8k2-2)

4(1-k2)(1+4k2)

4（1+4k²）（1-k²）y+16k（1-k²）=5k（1+4k²）x-5k（8k²-2）
4（1+4k²）（1-k²）y=5k（1+4k²）x-6k（1+4k²）
4（1-k²）y=k（5x-6）
顯然當(dāng)x=

6

5

時(shí)，y=0，…（10分）
當(dāng)k=0時(shí)，直線QA為x軸，點(diǎn)A為橢圓的左頂點(diǎn)；
直線QB垂直于x軸，點(diǎn)B和點(diǎn)Q重合，直線AB即為x軸，過(guò)定點(diǎn)(

6

5

，0)．
所以無(wú)論k取何值，直線AB必過(guò)定點(diǎn)(

6

5

，0)．…（12分）
法二：
令直線QA的斜率分別為1和-

3

，則直線QB的斜率分別為-1和

3

3

…（5分）
得到直線AB的方程為x=

6

5

和y=

5 3

8

(x-

6

5

)…（6分）
兩直線的交點(diǎn)為P(

6

5

，0)由法一得A(

8k2-2

1+4k2

，

-4k

1+4k2

)．B(

8-2k2

4+k2

，

4k

4+k2

)…（8分）
計(jì)算可得kPA=

5k

4(1-k2)

，kPB=

5k

4(1-k2)

所以k_PA=k_PB，即A、B、P三點(diǎn)共線，因此直線AB過(guò)定點(diǎn)(

6

5

，0)…（10分）
當(dāng)k=0時(shí)，直線QA為x軸，點(diǎn)A為橢圓的左頂點(diǎn)；
直線QB垂直于x軸，點(diǎn)B和點(diǎn)Q重合，直線AB即為x軸，過(guò)定點(diǎn)(

6

5

，0)．
所以無(wú)論k取何值，直線AB必過(guò)定點(diǎn)(

6

5

，0)．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，分類(lèi)討論以及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．