Question

（本題滿(mǎn)分14分）已知四棱錐中，，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，．

（I）求證：；

（II）設(shè)與交于點(diǎn)，為中點(diǎn)，若二面角的正切值為，求的值．

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（I）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥BD

又ABCD為菱形，所以AC⊥BD,所以BD⊥平面PAC

從而平面PBD⊥平面PAC．    ……………6分

（II）過(guò)O作OH⊥PM交PM于H，連HD

因?yàn)镈O⊥平面PAC，可以推出DH⊥PM,所以∠OHD為A-PM-D的平面角

又，且

從而

所以，即．       ………………………14分

 

 

 

法二：如圖,以為原點(diǎn),所在直線(xiàn)為軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,, …………8分

從而

因?yàn)锽D⊥平面PAC,所以平面PMO的一個(gè)法向量為．  

設(shè)平面PMD的法向量為,由得

取，即 ……………11分

設(shè)與的夾角為，則二面角大小與相等

從而，得

從而，即．                 ……………14分

 

【解析】略