Question

（本小題共14分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距為2，離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)，且與橢圓交于兩點(diǎn)，若，求直線的方程.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由橢圓焦距為2 得，由離心率是得,另外結(jié)合列方程組即可確定 的值從而得到橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)，先討論當(dāng)k不存在時(shí)，直線方程為，不符合題意．再研究當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)直線方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去一個(gè)變量，得到關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合一元二次方程根的判別式與韋達(dá)定理以及由，則，確定的關(guān)系，從而求出實(shí)數(shù).所求直線方程為．

試題解析：（Ⅰ）由題意知, 1分

解得 3分

故橢圓方程為． 4分

（Ⅱ）設(shè)

當(dāng)k不存在時(shí)，直線方程為，不符合題意． 5分

當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)直線方程為，

聯(lián)立，消去，得：， 6分

由題意，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，必有兩個(gè)交點(diǎn)，方程必有實(shí)根．（或計(jì)算） 7分

8分

若，則， 9分

代入上式，可得

，消去，解得. 13分

所求直線方程為． 14分

考點(diǎn)：橢圓方程，直線與橢圓位置關(guān)系