Question

(2009山東卷理)（本小題滿分14分）

設(shè)橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

（I）求橢圓E的方程；

（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。

Answer 1

解:（1）因?yàn)闄E圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn),

所以解得所以橢圓E的方程為

（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即,   

則△=,即

,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本�為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點(diǎn)為或滿足,綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A,B,且.

因?yàn)?img width=127 height=88 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0677/63/94563.gif" >,

所以,

, 

①當(dāng)時

因?yàn)?img width=105 height=41 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0677/96/94596.gif" >所以,

所以,

所以當(dāng)且僅當(dāng)時取”=”.  

當(dāng)時,.

當(dāng)AB的斜率不存在時, 兩個交點(diǎn)為或,所以此時,

綜上, |AB |的取值范圍為即:

【命題立意】:本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運(yùn)用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系.