Question

在某批次的某種燈泡中，隨機(jī)地抽取200個樣品，并對其壽命進(jìn)行追蹤調(diào)查，將結(jié)果列成頻率分布表如下．根據(jù)壽命將燈泡分成優(yōu)等品、正品和次品三個等級，其中壽命大于或等于500天的燈泡是優(yōu)等品，壽命小于300天的燈泡是次品，其余的燈泡是正品．

壽命（天）	頻數(shù)	頻率
[100，200）	20	0.10
[200，300）	30	a
[300，400）	70	0.35
[400，500）	b	0.15
[500，600）	50	0.25
合計	200	1

（Ⅰ）根據(jù)頻率分布表中的數(shù)據(jù)，寫出a，b的值；
（Ⅱ）某人從燈泡樣品中隨機(jī)地購買了n（n∈N^*）個，如果這n個燈泡的等級情況恰好與按三個等級分層抽樣所得的結(jié)果相同，求n的最小值；
（Ⅲ）某人從這個批次的燈泡中隨機(jī)地購買了3個進(jìn)行使用，若以上述頻率作為概率，用X表示此人所購買的燈泡中次品的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,分層抽樣方法

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）利用頻率分布表中的數(shù)據(jù)直接計算能求出a、b的值．
（Ⅱ）由頻率分布表知按分層抽樣法，購買燈泡數(shù)n=k+2k+k=4k（k∈N^*）個，由此能求出n的最小值．
（Ⅲ）X的所有取值為0，1，2，3．分別求出相對應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）a=1-0.10-0.35-0.15-0.25=0.15，
b=200-20-30-70-50=30．…（2分）
（Ⅱ）由表可知：燈泡樣品中優(yōu)等品有50個，正品有100個，次品有50個，
∴優(yōu)等品、正品和次品的比例為50：100：50=1：2：1．…（4分）
∴按分層抽樣法，購買燈泡數(shù)n=k+2k+k=4k（k∈N^*），
∴n的最小值為4．…（6分）
（Ⅲ）X的所有取值為0，1，2，3．…（7分）
由題意，購買一個燈泡，且這個燈泡是次品的概率為0.1+0.15=0.25，…（8分）
從本批次燈泡中購買3個，可看成3次獨(dú)立重復(fù)試驗，
∴P(X=0)=

C

0 3

×(1-

1

4

)3=

27

64

，
P(X=1)=

C

1 3

×

1

4

×(1-

1

4

)2=

27

64

，
P(X=2)=

C

2 3

×(

1

4

)2(1-

1

4

)1=

9

64

，
P(X=3)=

C

3 3

×(

1

4

)3=

1

64

．…（11分）
∴隨機(jī)變量X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

…（12分）
∴X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×

27

64

+1×

27

64

+2×

9

64

+3×

1

64

=

3

4

．
…（13分）
（注：寫出X～B(3，

1

4

)，P(X=k)=

C

k 3

(

1

4

)k(1-

1

4

)3-k，k=0，1，2，3．請酌情給分）

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．