Question

9．已知離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）和直線l：$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{2}$y+6=0，其中橢圓C經(jīng)過點（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），點P是橢圓C上一動點，直線l與兩坐標(biāo)軸的交點分別為A，B．
（1）求與橢圓C相切平行于直線l的直線方程；
（2）求△PAB面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）由離心率公式和a，b，c的關(guān)系，結(jié)合點在橢圓上，滿足橢圓方程，解方程可得a，b，c，進而得到橢圓方程，設(shè)出與直線l平行的直線方程，聯(lián)立橢圓方程，運用判別式為0，即可得到所求直線方程；
（2）運用兩直線平行的距離公式和三角形的面積公式計算即可得到所求面積的最小值．

解答 解：（1）e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，a²-b²=c²，
又橢圓C經(jīng)過點（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），即有$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{3^{2}}$=1，
解得a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，c=1，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
設(shè)與橢圓C相切平行于直線l的直線方程為$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{2}$y+t=0，
聯(lián)立橢圓方程，可得25y²+8$\sqrt{2}$ty+2t²-18=0，
由判別式為0，即128t²-100（2t²-18）=0，
解得t=±5，
則所求直線方程為$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{2}$y+5=0，或$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{2}$y-5=0；
（2）直線l與兩坐標(biāo)軸的交點分別為A（0，-$\frac{3}{\sqrt{2}}$），B（-$\frac{6}{\sqrt{3}}$，0），
則|AB|=$\sqrt{\frac{9}{2}+\frac{36}{3}}$=$\frac{\sqrt{33}}{\sqrt{2}}$，
由（1）可得直線$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{2}$y+5=0與$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{2}$y+6=0的距離為
d=$\frac{|6-5|}{\sqrt{3+8}}$=$\frac{1}{\sqrt{11}}$，即為P到直線l的距離的最小值，
則△PAB面積的最小值為$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{\sqrt{11}}$×$\frac{\sqrt{33}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要是離心率公式的運用，考查直線和橢圓相切的條件，考查兩直線平行的距離公式的運用，屬于中檔題．