Question

1．正四面體A-BCD中，E為BC中點，F(xiàn)為直線BD上一點，則平面AEF與平面ACD所成二面角的正弦值的取值范圍是[$\frac{\sqrt{2}}{3}$，1]．

Answer 1

分析 由題意把正四面體A-BCD放到正方體BK內(nèi)，則平面ACD與平面AEF所成角的正弦值等于平面ACD的法向量BK與平面AEF所成角的余弦值，由此能求出平面AEF與平面ACD所成二面角的正弦值的取值范圍．

解答 解：由題意把正四面體A-BCD放到正方體BK內(nèi)，
則平面ACD與平面AEF所成角的正弦值等于平面ACD的法向量BK與平面AEF所成角的余弦值，
問題等價于平面AEF繞AE轉(zhuǎn)動，
當平面ACD與平面AEF所成角等于BK與AE夾角時，
平面AEF與平面ACD所成二面角的正弦值取最小值，
此時該正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{3}$；
當平面AEF與BK平行時，所成角為0°，
此時正弦值為1．
∴平面AEF與平面ACD所成二面角的正弦值的取值范圍為[$\frac{\sqrt{2}}{3}$，1]．
故答案為：[$\frac{\sqrt{2}}{3}$，1]．

點評 本題考查二面角的正弦值的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．