Question

已知拋物線y²=4x，F(xiàn)是焦點(diǎn)，直線l是經(jīng)過點(diǎn)F的任意直線．
（1）若直線l與拋物線交于兩點(diǎn)A、B，且OM⊥AB（O是坐標(biāo)原點(diǎn)，M是垂足），求動點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）若C、D兩點(diǎn)在拋物線y²=4x上，且滿足

OC

•

OD

=-4，求證直線CD必過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用直接法來求，設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)镺M⊥AB，所以

OM

•

FM

=0，用含M點(diǎn)的坐標(biāo)的式子表示，化簡，即可得到動點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）先設(shè)點(diǎn)C、D的坐標(biāo)為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），因?yàn)镃，D D兩點(diǎn)在拋物線y²=4x上，代入拋物線方程，找出每個點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的關(guān)系式，再因?yàn)镃，D滿足

OC

•

OD

=-4，得到x₁x₂+y₁y₂=-4，把直線CD用以y₁，y₂為參數(shù)的方程求出，化成點(diǎn)斜式，判斷是否過定點(diǎn)．

解答：解：（1）設(shè)動點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y）．                  
∵拋物線y²=4x的焦點(diǎn)是F（1，0），直線l恒過點(diǎn)F，且與拋物線交于兩點(diǎn)A、B，
又OM⊥AB，
∴

OM

⊥

FM

，即

OM

•

FM

=0．                   
∴（x，y）•（x-1，y）=0，化簡，得x²+y²-x=0． 
又當(dāng)M與原點(diǎn)重合時，直線l與x軸重合，故x≠0．
∴所求動點(diǎn)M的軌跡方程是x²+y²-x=0（x≠0）．
（2）設(shè)點(diǎn)C、D的坐標(biāo)為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．       
∵C、D在拋物線y²=4x上，
∴y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，即x1+x2=

y 2 1 + y 2 2

4

，x1x2=

y 2 1 y 2 2

16

．
又

OC

•

OD

=-4，
∴x1x2+y1y2=-4，即

y 2 1 y 2 2

16

+y1y2=-4，解得y1y2=-8．    
∵點(diǎn)C、D的坐標(biāo)為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
∴直線CD的一個法向量是

n

=(y1-y2，x2-x1)，
可得直線CD的方程為：（y₁-y₂）（x-x₁）+（x₂-x₁）（y-y₁）=0，
化簡，得（y₁-y₂）x+（x₂-x₁）y+x₁y₂-y₁x₂=0，進(jìn)一步用y₁、y₂分別替換x₁、x₂，有(y1-y2)x+

y1+y2

4

(y2-y1)y-2(y1-y2)=0．
又拋物線y²=4x上任兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都不相等，即y₁-y₂≠0．
∴直線CD的方程可化為x-

y1+y2

4

y-2=0．  
∴直線CD恒過定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）．

點(diǎn)評：本題主要考查了直接法求軌跡方程，以及直線與拋物線相交關(guān)系的判斷，關(guān)鍵在于若何找到各參數(shù)之間的關(guān)系，減少參數(shù)的個數(shù)．