Question

已知半橢圓與半橢圓組成的曲線稱為“果圓”，其中a²=b²+c²，a＞0，b＞c＞0．如圖，設(shè)點(diǎn)F₀，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，A₁，A₂和B₁，B₂是“果圓”與x，y軸的交點(diǎn)，
（1）若三角形F₀F₁F₂是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；
（2）若|A₁A|＞|B₁B|，求的取值范圍；
（3）一條直線與果圓交于兩點(diǎn)，兩點(diǎn)的連線段稱為果圓的弦．是否存在實(shí)數(shù)k，使得斜率為k的直線交果圓于兩點(diǎn)，得到的弦的中點(diǎn)的軌跡方程落在某個(gè)橢圓上？若存在，求出所有k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵，
∴，
于是，
所求“果圓”方程為，

（2）由題意，得a+c＞2b，即．
∵（2b）²＞b²+c²=a²，∴a²-b²＞（2b-a）²，得．
又b²＞c²=a²-b²，
∴．∴．

（3）設(shè)“果圓”C的方程為，．
記平行弦的斜率為k．
當(dāng)k=0時(shí)，直線y=t（-b≤t≤b）與半橢圓的交點(diǎn)是P，
與半橢圓的交點(diǎn)是Q．
∴P，Q的中點(diǎn)M（x，y）滿足得．
∵a＜2b，∴．
綜上所述，當(dāng)k=0時(shí)，“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓上．
當(dāng)k＞0時(shí)，以k為斜率過B₁的直線l與半橢圓的交點(diǎn)是．
由此，在直線l右側(cè)，以k為斜率的平行弦的中點(diǎn)軌跡在直線上，即不在某一橢圓上．
當(dāng)k＜0時(shí)，可類似討論得到平行弦中點(diǎn)軌跡不都在某一橢圓上．
分析：（1）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13336.png' />，
所以，
由此可知“果圓”方程為，．
（2）由題意，得，所以a²-b²＞（2b-a）²，得．再由可知的取值范圍．
（3）設(shè)“果圓”C的方程為，．記平行弦的斜率為k．當(dāng)k=0時(shí)，“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓上．當(dāng)k＞0時(shí)，以k為斜率過B₁的直線l與半橢圓的交點(diǎn)是．由此，在直線l右側(cè)，以k為斜率的平行弦的中點(diǎn)軌跡在直線上，即不在某一橢圓上．
當(dāng)k＜0時(shí)，可類似討論得到平行弦中點(diǎn)軌跡不都在某一橢圓上．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．