Question

若直線l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始終平分圓M：x²+y²+8x+2y+1=0的周長，則

1

a

+

4

b

的最小值為______．

Answer 1

整理圓的方程得（x+4）²+（y+1）²=16，
∴圓心坐標(biāo)為（-4，-1）
∵直線l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始終平分圓M：x²+y²+8x+2y+1=0的周長
∴直線l過圓心，即-4a-b+1=0
∴4a+b=1
∴

1

a

+

4

b

=（4a+b）（

1

a

+

4

b

）=8+

16a

b

+

b

a

≥8+2

16a b • b a

=16（當(dāng)且僅當(dāng)

16a

b

=

b

a

時等號成立．）
故答案為：16