Question

11．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點P（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）
（1）求橢圓C的方程．
（2）設點Q是橢圓C上一個動點，點A的坐標為（-1，0），記|QA|²=1+λ|QO|²，求λ的最大值．

Answer 1

分析 （1）運用橢圓的離心率公式和a，b，c的關系，以及P滿足橢圓方程，解方程可得橢圓方程；
（2）設Q（x，y），x∈[-2，2]，代入橢圓方程，求得|QA|，|QO|，求得λ關于x的關系式，討論x的符號，運用基本不等式即可得到最大值．

解答 解：（1）設橢圓C的焦距為2c，則$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又a²-b²=c²，
∴3a²=4c²，c²=3b²，
∴橢圓C的方程為：$\frac{3{x}^{2}}{4{c}^{2}}$+$\frac{3{y}^{2}}{{c}^{2}}$=1，
代入P（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）得c=$\sqrt{3}$，a=2，b=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；            
（2）設Q（x，y），x∈[-2，2]，則|QO|²=x²+y²，
又A（-1，0），|QA|²=（x+1）²+y²，
λ=$\frac{|QA{|}^{2}-1}{|QO{|}^{2}}$=$\frac{（x+1）^{2}+{y}^{2}-1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+2x+{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=1+$\frac{2x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
點P（x，y）滿足$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，即有y²=1-$\frac{{x}^{2}}{4}$，
λ=1+$\frac{2x}{1+\frac{3{x}^{2}}{4}}$=1+$\frac{8x}{4+3{x}^{2}}$，
當x≤0時，λ≤1，
當x＞0時，x∈（0，2]，λ=1+$\frac{8}{3x+\frac{4}{x}}$，
因為3x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{3x•\frac{4}{x}}$=4$\sqrt{3}$，所以λ≤1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，當且僅當x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時，
λ取得最大值1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，

點評 本題考查橢圓的方程和性質，主要考查橢圓的離心率和方程的運用，注意點滿足橢圓方程，同時考成績基本不等式的運用：求最值，屬于中檔題．