Question

【題目】已知函數(shù).

(I)當a=-1時，

①求曲線y= f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；

②求函數(shù)f(x)的最小值；

(II)求證:當時，曲線與有且只有一個交點.

Answer 1

【答案】（1）切線方程；；（2）證明見解析

【解析】

(I)函數(shù)求導，求出得切線方程；解求單增區(qū)間，解求單減區(qū)間；利用單調(diào)性求最值；

(II)構造得到函數(shù)調(diào)調(diào)性，由零點存在性定理證有且只有一個零點.

(I)當時，

①函數(shù)，，

，即，

曲線在點處的切線方程為.

②令，得，令，得，

所以在上單增，在單減,

函數(shù)的最小值為.

(II) 當時，曲線與有且只有一個交點.

等價于有且只有一個零點.

，

當時，，

，則，

當時，，

，則，

在上單增，

又，

，

由零點存在性定理得有唯一零點，即曲線與有且只有一個交點.