Question

曲線P₀，P₁，P₂，…，已知P₀所圍成的圖形是面積為1的等邊三角形，P_k+1是對P_k進行如下操作得到的：將P_k的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉（k=0，1，2，3，…），記S_n為曲線P_k所圍成圖形面積．
①求數(shù)列{S_n}的通項公式；
②求

lim

n→∞

Sn．

Answer 1

①對P₀進行操作，可得P₀的每條邊變成P₁的4條邊，故P₁的邊數(shù)為3×4；
同樣，對P₁進行操作，P₁的每條邊變成P₂的4條邊，故P₂的邊數(shù)為3×4²，從而得到P_n的邊數(shù)為3×4ⁿ 
已知P₀的面積為S₀=1，比較P₁與P₀，可得P₁在P₀的每條邊上增加了一個小等邊三角形，其面積為

1

32

，而P₀有3條邊，故S₁=S₀+3×

1

32

=1+

1

3

再比較P₂與P₁，可得P₂在P₁的每條邊上增加了一個小等邊三角形，其面積為

1

32

×

1

32

，而P₁有3×4條邊，故S₂=S₁+3×4×

1

34

=1+

1

3

+

4

33

類似地有：S₃=S₂+3×4²×

1

36

=1+

1

3

+

4

33

+

42

35

∴S_n=1+

1

3

+

4

33

+

42

35

+…+

4n-1

32n-1

=1+

3

4

n

k=1

(

4

9

)k=

8

5

-

3

5

•(

4

9

)n（※）                          
下面用數(shù)學歸納法證明（※）式
當n=1時，由上面已知（※）式成立，
假設(shè)當n=k時，有S_k=

8

5

-

3

5

•(

4

9

)k，則當n=k+1時，可得第k+1次操作后，比較P_k+1與P_k，P_k+1在P_k的每條邊上增加了一個小等邊三角形，其面積為

1

32(k+1)

，而P_k有3×4^k條邊．
故S_k+1=S_k+3×4^k×

1

32(k+1)

=

8

5

-

3

5

•(

4

9

)k+1
綜上所述，對任何n∈N，（※）式成立．
②

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

[

8

5

-

3

5

•(

4

9

)n]=

8

5