Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，，平面PAB，，點(diǎn)E滿足.

（1）證明：；

（2）求二面角A-PD-E的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析 （2）

【解析】

（1）由勾股定理計(jì)算出，然后求數(shù)量積得，由線面垂直可得，從而可證得平面ABCD得證線線垂直；

（2）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角的余弦值．

（1）證明：在中，

由勾股定理，得

.

因?yàn)?/span>，

所以

.

所以，所以.

因?yàn)?/span>平面PAB，平面PAB，

所以.

又因?yàn)?/span>，

所以平面ABCD.

又因?yàn)?/span>平面ABCD，

所以.

（2）由得.

所以點(diǎn)E是靠近點(diǎn)A的線段AB的三等分點(diǎn).

所以.

分別以所在方向?yàn)?/span>y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則.

設(shè)平面PDE的法向量為，

由，得.

令，則；

設(shè)平面APD的法向量為，

由，得，

令，則.

設(shè)向量與的夾角為，

則.

所以二面角的余弦值為.