Question

已知：m＞0，n＞0，

n

m

＜1，證明：

n+1

m+1

＞

n

m

．

Answer 1

分析：法一：直接利用分析法的證明步驟，找出不等式成立的充分條件即可．法二：用綜合法證明．欲證明左式＞右式，作差后，只要證明左式-右式＞0即可．

解答：證法一（用分析法）：∵m＞0，∴m+1＞0，（2分）
要證

n+1

m+1

＞

n

m

，（4分）
只須證：m（n+1）＞n（m+1），（6分）
即只須證：m＞n，（8分）∵m＞0，

n

m

＜1，∴n＜m成立，即m＞n成立，
∴原不等式成立．（10分）
證法二（用綜合法）：∵

n+1

m+1

-

n

m

=

m(n+1)-n(m+1)

m(m+1)

=

m-n

m(m+1)

（4分）
∵m＞0，

n

m

＜1，∴n＜m，（6分）
∴m-n＞0，m+1＞0（8分）
∴

m-n

m(m+1)

＞0，
∴

n+1

m+1

-

n

m

＞0，原不等式成立．（10分）

點評：本題考查不等式的證明，考查分析法，綜合法的運用，屬于中檔題．