Question

【題目】已知函數(shù)在上的最大值為.

（1）求a的值；

（2）求在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）（2）在上有2個(gè)零點(diǎn)

【解析】

（1）對函數(shù)求導(dǎo)得，對參數(shù)分兩種情況進(jìn)行討論，得到函數(shù)的單調(diào)性后，再利用函數(shù)的最大值，求得的值；

（2）利用隱零點(diǎn)法，得到在上遞增，在上遞減，計(jì)算的正負(fù)，再利用零點(diǎn)存在定理證明函數(shù)在存在兩個(gè)零點(diǎn).

（1）由已知得.

當(dāng)時(shí)，，所以.

若，則，在上遞減，在上的最大值為，不合題意.

若，則，在上遞增，在上的最大值為.

令，得.

（2）由（1）可知，.

設(shè)，則.

當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上遞減.

又因?yàn)?/span>，，所以在上存在唯一的滿足，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

注意到在上與的符號相同，所以在上遞增，在上遞減.

又因?yàn)?/span>，，，，

所以在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，即在上有2個(gè)零點(diǎn).