Question

16．已知函數(shù)f（x）=x³+3ax²-bx，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=-12x+1
（1）試確定a，b的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而得到切線的斜率，建立等式關(guān)系，再根據(jù)切點(diǎn)在函數(shù)圖象建立等式關(guān)系，解方程組即可求出a和b，從而得到函數(shù)f（x）的解析式；
（2）由（1）得f′（x），令f′（x）＞0和令f′（x）＜0，即可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x³+3ax²-bx，可得f′（x）=3x²+6ax-b，f′（1）=3+6a-b=-12．①
又x=1，y=-11在f（x）的圖象上，
∴1+3a-b=-11．②
由①②得a=-1，b=9，
（2）f（x）=x³-x²-9x．
f′（x）=3x²-6x-9，令f′（x）＜0，得：3x²-6x-9＜0，
可得-1＜x＜3，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-1，3），單調(diào)增區(qū)間為：（-∞，-1），（3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系等基礎(chǔ)題知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．