Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R．且滿足下列兩個條件：①存在x₁≠x₂．使f（x₁）≠f（x₂）：②對任意x，y∈R．有 f（x+y）=f（x）•f（y）．
（1）求f（0）的值：
（2）是否對任意實數(shù)x，f（x）＞0恒成立？說明你的理由．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，由條件②，可得f（0），再結(jié)合條件①，即可得到所求值；
（2）令x=y=$\frac{t}{2}$，則f（t）=f²（$\frac{t}{2}$），由非負(fù)數(shù)概念和條件①，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）令x=y=0，則f（0）=f（0）•f（0），
可得f（0）=0或1．
若f（0）=0，令y=0，有f（x+0）=f（x）•f（0），
即為f（x）=0，與條件①矛盾，
則f（0）=1；
（2）由 f（x+y）=f（x）•f（y），
可令x=y=$\frac{t}{2}$，則f（t）=f²（$\frac{t}{2}$），
由f²（$\frac{t}{2}$）≥0，
即有f（t）≥0，由于f（t）=0與條件①矛盾．
則有對任意實數(shù)x，f（x）＞0恒成立．

點評 本題考查抽象函數(shù)的運(yùn)用，考查賦值法的運(yùn)用，考查推理的能力，屬于中檔題．