Question

20．已知x、y∈R，用向量法證明x²+y²≥2xy．

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow{a}$=（x，y），$\overrightarrow$=（y，x），運(yùn)用向量的數(shù)量積的性質(zhì)：|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$|≤|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|，化簡(jiǎn)整理即可得證．

解答 證明：設(shè)$\overrightarrow{a}$=（x，y），$\overrightarrow$=（y，x），
則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=xy+yx=2xy，
|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
由|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$|≤|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|，
可得2|xy|≤x²+y²，
即有x²+y²≥2xy，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y取得等號(hào)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查向量法證明不等式，注意構(gòu)造向量，運(yùn)用向量的數(shù)量積的性質(zhì)，屬于中檔題．