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精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

如圖，設(shè)E為正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱CC₁的中點(diǎn)，則平面AB₁E和底面A₁B₁C₁D₁所成的角的余弦值為__________.

解法一：如圖，延長AE與D₁C₁的延長線交于點(diǎn)P，連結(jié)PB₁，則PB₁即為二面角的棱.?

過C₁作C₁Q⊥B₁P交PB₁于點(diǎn)Q，連結(jié)EQ.?

∵EC₁⊥面A₁B₁C₁D₁，由三垂線定理可得EQ⊥PB₁，故∠EQC₁即為二面角的平面角.?

設(shè)正方體的棱長為2，則在△EQC₁中，EC₁=1,C₁Q=,EQ=.?

故平面AB₁E和底面A₁B₁C₁D₁所成的角的余弦值為cosθ=.

解法二：連結(jié)A₁C₁，顯然△A₁B₁C₁是△AB₁E在底面內(nèi)的射影.?

設(shè)正方體的棱長為2，則AB₁=，B₁E=，AE=3.?

∴cos∠B₁AE=.?

∴∠B₁AE=45°. ∴S_△B1AE =.?

∵S_△A1B1C1?=2,故平面AB₁E和底面A₁B₁C₁D₁所成的角的余弦值為cosθ=.

答案：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1，E、F分別是棱AA′，CC′的中點(diǎn)，過直線EF的平面分別與棱BB′、DD′交于M、N，設(shè)BM=x，x∈[0，1]，給出以下四個命題：
①平面MENF⊥平面BDD′B′；
②當(dāng)且僅當(dāng)x=

時，四邊形MENF的面積最小；
③四邊形MENF周長l=f（x），x∈0，1]是單調(diào)函數(shù)；
④四棱錐C′-MENF的體積v=h（x）為常函數(shù)；
以上命題中真命題的序號為

①②④

．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱AA'，CC'的中點(diǎn)，過直線E，F(xiàn)的平面分別與棱BB'、DD'交于M，N，設(shè)BM=x，x∈[0，1]，給出以下四個命題：
①平面MENF⊥平面BDD'B'；
②當(dāng)且僅當(dāng)x=

時，四邊形MENF的面積最小；
③四邊形MENF周長L=f（x），x∈[0，1]是單調(diào)函數(shù)；
④四棱錐C'-MENF的體積V=h（x）為常函數(shù)；
以上命題中假命題的序號為（　�。�

A．①④

B．②

C．③

D．③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1，E、F 分別是棱AA'，CC'的中點(diǎn)，過直線E、F的平面分別與棱BB′，DD′交于M、N，設(shè)BM=x，x∈[0，1]，給出以下四個命題：
①當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，四邊形MENF的周長最大；
②當(dāng)且僅當(dāng)x=

時，四邊形MENF的面積最�。�
③四棱錐C′-MENF的體積V=h（x）為常函數(shù)；
④正方體ABCD-A′B′C′D′被截面MENF平分成等體積的兩個多面體．
以上命題中正確命題的個數(shù)（　�。�

A．4

B．3

C．2

D．1

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