【題目】1，4，9，16……這些數(shù)可以用圖1中的點陣表示，古希臘畢達哥拉斯學派將其稱為正方形數(shù)，記第
個數(shù)為
.在圖2的楊輝三角中，第
行是
展開式的二項式系數(shù)
，
，…，
，記楊輝三角的前行所有數(shù)之和為
.
（1）求和的通項公式；
（2）當
時，比較與的大小，并加以證明.
【答案】（Ⅰ）
，
（Ⅱ）
，證明見解析
【解析】
（Ⅰ）由正方形數(shù)的特點知，由二項式定理的性質，求出楊輝三角形第
行個數(shù)的和，由此能求出
和
的通項公式；
（Ⅱ）由
時，
，
時，，證明：時，時，可以逐個驗證；證明時，時，可以用數(shù)學歸納法證明．
（Ⅰ）由正方形數(shù)的特點可知；
由二項式定理的性質，楊輝三角第行個數(shù)的和為
，
所以
.
（Ⅱ）
，
，所以
；
，
，所以
；
，
，所以
；
，
，所以
；
，
所以
；
猜想：當時，；當時，.
證明如下：
證法1：
當時，已證.
下面用數(shù)學歸納法證明：當時，.
①當
時，已證：
②假設
時，猜想成立，即
，所以
；
那么，
，
所以，當
時，猜想也成立．
根據①②，可知當時，.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某課程考核分理論與實驗兩部分進行，每部分考核成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考核都是“合格”，則該課程考核“合格”，若甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概率分別為0.9,0.8,0.7，在實驗考核中合格的概率分別為0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之間沒有影響．
(1)求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率；
(2)求這三個人該課程考核都合格的概率(結果保留三位小數(shù))．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知正項數(shù)列
的前
項和為
，且
和滿足：
．
（1）求的通項公式；
（2）設
，求
的前項和
；
（3）在(2)的條件下，對任意
,
都成立，求整數(shù)
的最大值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某學校為了加強學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，鍛煉學生自主探究學習的能力，他們以教材第97頁B組第3題的函數(shù)
為基本素材，研究該函數(shù)的相關性質，取得部分研究成果如下：
①同學甲發(fā)現(xiàn)：函數(shù)
是偶函數(shù)；
②同學乙發(fā)現(xiàn)：對于任意的
都有
；
③同學丙發(fā)現(xiàn)：對于任意的
，都有
；
④同學丁發(fā)現(xiàn)：對于函數(shù)定義域中任意的兩個不同實數(shù)
，總滿足
.
其中所有正確研究成果的序號是__________．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩支籃球隊賽季總決賽采用7場4勝制，每場必須分出勝負，場與場之間互不影響，只要有一隊獲勝4場就結束比賽．現(xiàn)已比賽了4場，且甲籃球隊勝3場．已知甲球隊第5，6場獲勝的概率均為
，但由于體力原因，第7場獲勝的概率為
．
（1）求甲隊分別以
，
獲勝的概率；
（2）設
表示決出冠軍時比賽的場數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時，輪船位于港口的O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經過t小時與輪船相遇．
（I）若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？
（II）為保證小艇在30分鐘內（含30分鐘）能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】（題文）如圖所示的某種容器的體積為
，它是由圓錐和圓柱兩部分連接而成，圓柱與圓錐的底面半徑都為
．圓錐的高為
，母線與底面所成的角為
；圓柱的高為
，已知圓柱底面的造價為
元
，圓柱側面造價為
元，圓錐側面造價為
元．
（1）將圓柱的高
表示為底面半徑
的函數(shù)，并求出定義域；
（2）當容器造價最低時，圓柱的底面半徑為多少？
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