Question

已知a²+b²=2，若a+b≤|x+1|-|x-2|對任意實數(shù)a、b恒成立，則x的取值范圍是

[

3

2

，+∞）

．

Answer 1

分析：由已知，只需|x+1|-|x-2|大于等于a+b的最大值即可，利用三角換元法可求出a+b的最大值為2．通過解2≤|x+1|-|x-2|即可求出x的取值范圍．

解答：解：由已知，只需|x+1|-|x-2|大于等于a+b的最大值即可．
由于a²+b²=2，令a=

2

cosθ，b=

2

sinθ，則a+b=

2

（cosθ+sinθ）=2sin（θ+

π

4

），故a+b的最大值為2．
所以2≤|x+1|-|x-2|．可以化為下面的三個不等式組

x≤-1 -(x+1)+(x-2)≥2

，此時無解
或

-1＜x＜2 (x+1)+(x-2)≥2

，解得

3

2

≤x＜2
或

x≥2 (x+1)-(x-2)≥2

，解得x≥2
綜上所述，x的取值范圍是[

3

2

，2）∪[2，+∞）=[

3

2

，+∞）
故答案為：[

3

2

，+∞）

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，絕對值不等式的解法．考查邏輯思維、計算、分類討論等思想方法．