Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），在一周期內(nèi)，當(dāng)x=時，y取得最大值3，當(dāng)x=時，y取得最小值-3．
求：
（1）函數(shù)f（x）的解析式；并求函數(shù)f（x） 的單調(diào)增區(qū)間和對稱軸方程；
（2）當(dāng)x∈[-，]時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

解：（1）∵在一周期內(nèi)，函數(shù)當(dāng)x=時取得最大值3，當(dāng)x=時取得最小值-3．
∴正數(shù)A=3，周期T滿足==，得T=π，所以ω==2
因此，函數(shù)表達式為f（x）=3sin（2x+φ），
將點（，-3）代入，得-3=3sin（2×+φ），即sin（2×+φ）=-1
∴+φ=-+2mπ，m∈Z
∵|φ|＜π，∴取m=1，得φ=
綜上所述，f（x）的解析式為f（x）=3sin（2x+）
令-+2kπ＜2x+＜+2kπ，解得-+kπ＜x＜+kπ，k∈Z
∴函數(shù)f（x） 的單調(diào)增區(qū)間為（-+kπ，+kπ），k∈Z
由2x+=+2kπ，解得x=+kπ，k∈Z
∴函數(shù)圖象的對稱軸方程為x=+kπ，k∈Z．
（2）∵x∈[-，]，
∴2x+∈[-，]，可得-≤sin（2x+）≤1
即得-≤3sin（2x+）≤3
因此，函數(shù)f（x）=3sin（2x+）的值域為[-，3]．
分析：（1）根據(jù)函數(shù)在一個周期內(nèi)的最大、最小值及相應(yīng)的x值，可得A=3且ω=2，再由函數(shù)在x=時取得最小值-3，列式解出φ=，由此得到函數(shù)的表達式，最后根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間和對稱軸方程的結(jié)論，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和對稱軸方程．
（2）當(dāng)x∈[-，]時，可得2x+∈[-，]，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得到函數(shù)f（x）的值域．
點評：本題給出三角函數(shù)式滿足的條件，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和閉區(qū)間上的值域，著重考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式等知識、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．