Question

5．設(shè)三棱錐O-ABC的各條棱長均為1，點M，N分別為OA，BC的中點，則$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{OB}$=（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 正四面體的各夾角為60°，用正四面體的邊向量表示出$\overrightarrow{MN}$，再計算數(shù)量積．

解答 解：$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$，
∴$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{OB}$=（$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$）•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{OB}$．
∵三棱錐O-ABC的各條棱長均為1，
∴AC⊥OB，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{OB}$=0．
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{OB}$=cos60°=$\frac{1}{2}$．
∴$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+0+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查了向量的數(shù)量積運算，向量線性運算的幾何意義，正四面體的結(jié)構(gòu)特征．判斷向量的夾角是關(guān)鍵．