Question

5．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=-2S_nS_n-1（n≥2），則S₂₀₀=$\frac{1}{400}$．

Answer 1

分析 a_n=-2S_nS_n-1化簡可得$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，且$\frac{1}{{S}_{1}}$=2，從而可判斷數列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以2為首項，2為公差的等差數列，從而求得．

解答 解：∵a_n=-2S_nS_n-1，
∴S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1，
∴$\frac{1}{{S}_{n-1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=-2，
即$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，且$\frac{1}{{S}_{1}}$=2，
故數列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以2為首項，2為公差的等差數列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=2+2（n-1）=2n，
故S_n=$\frac{1}{2n}$，
故S₂₀₀=$\frac{1}{400}$，
故答案為：$\frac{1}{400}$．

點評 本題考查了數列的性質的判斷與應用，同時考查了整體思想與轉化思想的應用及構造法的應用．