Question

已知橢圓C過點(diǎn)是橢圓的左焦點(diǎn)，P、Q是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且|PF|、|MF|、|QF|成等差數(shù)列。

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求證：線段PQ的垂直平分線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)A；

（3）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)是B，求|PB|的最小值及相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)。

Answer 1

（1）（2）（3）

解析:

（1）設(shè)橢圓的方程為，由已知，得，解得

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為   …………3分

（2）證明：設(shè)。由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可知

同理………4分

∵，∴

∴…………5分

①當(dāng)時(shí)，由，得

從而有

設(shè)線段的中點(diǎn)為，由         …………6分

得線段的中垂線方程為…………7分

∴，該直線恒過一定點(diǎn)…………8分

②當(dāng)時(shí)，或

線段的中垂線是軸，也過點(diǎn)，

∴線段的中垂線過點(diǎn)…………10分

（3）由，得。

又，∴

…………12分

∴時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為…………14分