Question

【題目】如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．

（1）證明：平面平面；

（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求面與面所成二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）

【解析】分析：（1）先證平面CMD,得,再證，進(jìn)而完成證明。

（2）先建立空間直角坐標(biāo)系，然后判斷出的位置，求出平面和平面的法向量，進(jìn)而求得平面與平面所成二面角的正弦值。

詳解：（1）由題設(shè)知,平面CMD⊥平面ABCD,交線為CD.因?yàn)?/span>BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.

因?yàn)?/span>M為上異于C，D的點(diǎn),且DC為直徑，所以 DM⊥CM.

又 BCCM=C,所以DM⊥平面BMC.

而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.

（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)?/span>x軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.

當(dāng)三棱錐MABC體積最大時(shí)，M為的中點(diǎn).

由題設(shè)得，

設(shè)是平面MAB的法向量,則

即

可取.

是平面MCD的法向量,因此

，

，

所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是.