Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

+lnx，g（x）=

1

2

x²，
（Ⅰ）若直線l與f（x）以及g（x）的圖象相切于同一點(diǎn)，求l的方程；
（Ⅱ）若對任意x₁＞x₂＞0，不等式i[g（x₁）-g（x₂）]＞x₁f（x₁）-x₂f（x₂）恒成立，求i的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先設(shè)切點(diǎn)P（a，b），直線l與f（x）以及g（x）的圖象相切于同一點(diǎn)P，點(diǎn)P在函數(shù)f（x）以及g（x）的圖象上且在點(diǎn)P的導(dǎo)數(shù)相等，即可求出；（Ⅱ）先構(gòu)造函數(shù)h（x）=ig（x）-xf（x）=

1

2

ix²-

1

2

x-xlnx，根據(jù)其單調(diào)性求其導(dǎo)數(shù)，然后分離變量，進(jìn)而求解．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)共同的切點(diǎn)為P（a，b），（a＞0）
因為f′（x）=

1

x

，g′（x）=x
∴f′（a）=

1

a

=g′（a）=a，
∴a=1，
∴b=g（a）=

1

2

，
∴l(xiāng)的方程是2x-y-1=0
（II）若x₁＞x₂＞0，總有i[g（x₁）-g（x₂）]＞x₁f（x₁）-x₂f（x₂）成立，
即若x₁＞x₂＞0，總有ig（x₁）-x₁f（x₁）＞ig（x₂）-x₂f（x₂）成立，
即函數(shù)h（x）=ig（x）-xf（x）=

1

2

ix²-

1

2

x-xlnx，在（0，+∞）上為增函數(shù)，
即h′（x）=ix-lnx-

3

2

≥0在（0，+∞）上恒成立
即i≥

lnx+ 3 2

x

在（0，+∞）上恒成立
設(shè)G（x）=

lnx+ 3 2

x

在，則G′（x）=

-( 1 2 +lnx)

x2

∴G（x）在（0，

1

e

）上為增函數(shù)，在（

1

e

，+∞）上為減函數(shù)，
∴G（x）≤G（

1

e

）=

e

∴i≥

e

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用問題，解題時應(yīng)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判定函數(shù)的單調(diào)性以及求函數(shù)的最值，求函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線方程，是綜合題．