Question

14．等差數列{a_n}中，已知a₁₀=23．
（1）若a₂₅=-22，問此數列從第幾項開始為負？
（2）若數列從第17項起各項均為負，求公差d的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設等差數列的公差為d，運用通項公式，求得d=-3，求得通項，再令a_n＜0，解不等式即可得到所求n；
（2）設公差為d，由題意可得a₁₇＜0，a₁₆≥0，由通項公式，解不等式，即可得到d的范圍．

解答 解：（1）設等差數列的公差為d，
由a₁₀=23，a₂₅=-22，可得d=$\frac{{a}_{25}-{a}_{10}}{15}$=-3．
即有a_n=a₁₀+（n-10）d=23-3（n-10）=53-3n，
令a_n＜0，即有53-3n＜0，解得n＞$\frac{53}{3}$，
由n為整數，則n最小為18．
則此數列從第18項開始為負；
（2）設公差為d，由題意可得
a₁₇＜0，a₁₆≥0，
即為a₁₀+7d＜0，a₁₀+6d≥0，
即有23+7d＜0，23+6d≥0，
解得-$\frac{23}{6}$≤d＜-$\frac{23}{7}$．

點評 本題考查等差數列的通項公式的運用，考查不等式的解法，屬于基礎題．