Question

（08年昆明市適應(yīng)考試）（12分）設(shè)點(diǎn)，動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且和直線(xiàn)：相切. 記動(dòng)圓的圓心的軌跡為曲線(xiàn).

（Ⅰ）求曲線(xiàn)的方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn)（為切點(diǎn)），

證明：直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)并指出定點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

解析：（Ⅰ）過(guò)點(diǎn)作垂直直線(xiàn)于點(diǎn)

依題意得：，

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為是以為焦點(diǎn)，直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，

即曲線(xiàn)的方程是                                ………………………4分

（Ⅱ）設(shè)、 ，  ，則

由知，， ∴，

又∵切線(xiàn)AQ的方程為：，注意到

切線(xiàn)AQ的方程可化為：；

由在切線(xiàn)AQ上， ∴    

于是在直線(xiàn)上

同理，由切線(xiàn)BQ的方程可得：   

于是在直線(xiàn)上

所以，直線(xiàn)AB的方程為：，

又把代入上式得：

∴直線(xiàn)AB的方程為：

∴直線(xiàn)AB必過(guò)定點(diǎn).              ………………………12分

（Ⅱ）解法二：設(shè)，切點(diǎn)的坐標(biāo)為，則

由知，，得切線(xiàn)方程：

即為：，又∵在切線(xiàn)上，

所以可得：，又把代入上式得：

，解之得： 

∴，

故直線(xiàn)AB的方程為：

化簡(jiǎn)得：

∴直線(xiàn)AB的方程為：

∴直線(xiàn)AB必過(guò)定點(diǎn).