Question

如圖，在等腰梯形PDCB中，PＢ∥CD ，PB＝3，DC＝1，PD＝BC＝，A為PB邊

上一點(diǎn)，且PA＝1，將ΔPAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD.

（1）求證：平面PAD⊥平面PCD.

（2）在線段PB上是否存在一點(diǎn)M，使截面AMC把幾何體分成的兩部分的體積之比為

V_PDCMA:V_M－ACB＝2:1, 若存在，確定點(diǎn)M的位置；若不存在, 說明理由.

（3）在（2）的條件下，判斷AM是否平行于平面PCD.

 

Answer 1

（1）證明：連接AＣ，　∵　PACD　　∴　四邊形PACD為平行四邊形

　∴　PD＝AＣ　   ∵　PD＝  　∴　AＣ＝　

　　　　　∵　DC＝PA＝1　∴　　∴　CD⊥AD，

 ∵　平面PAD⊥平面ABCD，且交線為AD

∴　DC⊥平面PAD.

∵　DC平面PCD，∴　平面PAD⊥平面PCD.

（2）        在線段PB上是存在這樣的點(diǎn)M，當(dāng)M為PB中點(diǎn)時，使截面AMC把幾何體分成的兩部分V_PDCMA:V_M－ACB＝2:1．理由如下:

∵　DC∥PA，　CD⊥AD，∴　PA⊥AD，

∵　平面PAD⊥平面ABCD，且交線為AD

∴　PA ⊥平面ABCD

∵　M為PB中點(diǎn)　∴點(diǎn)Ｍ到面ACB的距離等于PA.

∴　.

∵　＝,

∴　.   ∴，故M為PB中點(diǎn).

（3）　AM與平面PCD不平行

∵AB∥CD，AB平面PCD，CD平面PCD，∴AB∥平面PCD

若AM∥平面PCD，∵AB∩AM=A，∴平面ABM∥平面PCD

這與平面ABM與平面PCD有公共點(diǎn)P矛盾

∴AM與平面PCD不平行