Question

【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù)．

（1）若直線是曲線的一條切線，求實(shí)數(shù)的值；

（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)．求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）設(shè)切點(diǎn)， 由題意得，解方程組即可得結(jié)果；（2）函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于，函數(shù) 的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)在處取得極大值，結(jié)合，，從而可得結(jié)果.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，

曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

由題意得

解得，.所以的值為1.

（2）當(dāng)時(shí)，，則，

由，得，由，得，則有最小值為，即，

所以，，

由已知可得函數(shù) 的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，

設(shè)，

則，

令，，

由，可知，所以在上為減函數(shù)，

由，得時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

則函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，

所以，函數(shù)在處取得極大值，

又，，

所以，當(dāng)函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是，

即.