Question

【題目】（1）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）已知函數(shù)，，如果函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、，求證：.（參考數(shù)據(jù)：，，，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）構(gòu)造函數(shù)，其中，可得，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，分和兩種情況討論，結(jié)合可求出實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）由題意得出，變形得，利用基本不等式得出，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，證明出，結(jié)合單調(diào)性可得出.

（1）令，其中，且有，

，

令，則.

①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，即，

所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，合乎題意；

②當(dāng)時(shí)，則或.

（i）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，即，

所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，合乎題意；

（ii）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為、，設(shè)，

由韋達(dá)定理得，則必有，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

所以，，不合乎題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是；

（2）若，

則有兩個(gè)不同的零點(diǎn)、.

由題意，相加有，①

相減有，從而，

代入①有，

即，

不妨設(shè)，則，由（1）有.

又，

所以，即，

設(shè)，則，在單調(diào)遞增，

又，

，，因此.