Question

已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是與的等比中項(xiàng).
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）若，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）在（2）的條件下，若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

Answer 1

(1)詳見(jiàn)解析；(2)；(3) .

解析試題分析：（1）利用關(guān)系找出數(shù)列的遞推關(guān)系，可證明數(shù)列為等差數(shù)列；(2)由(1)可求出得，由，可變形得出為等比數(shù)列，進(jìn)一步求出其通項(xiàng)公式；(3)根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(等差乘等比型)可用錯(cuò)位相減法求和.證明數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列，應(yīng)緊扣定義，通過(guò)對(duì)所給條件變形，得到遞推關(guān)系，而等差乘等比型數(shù)列的求和最常用的就是錯(cuò)位相減法，使用這個(gè)方法在計(jì)算上要有耐心和細(xì)心，注意各項(xiàng)的符號(hào)，防止出錯(cuò).
試題解析：（1）即                              1分
當(dāng)時(shí)，，∴                                      2分
當(dāng)時(shí)，
∴                              3分
即      4分
∵  ∴
∴數(shù)列是等差數(shù)列                                                          5分
（2）由得，而，                   7分
∴數(shù)列是以2為公比，4為首項(xiàng)的等比數(shù)列
∴
∴                                                                      9分
（3）                                                             10分
∴  ①
兩邊同乘以得 ②
①②得
 
                                                    14分
考點(diǎn)：等差數(shù)列、等比數(shù)列、錯(cuò)位相減法.