Question

（本小題滿分10分）選修4-5:不等式選講

       已知a,b,c均為正數(shù)，證明：a²+b²+c²+≥6，并確定a,b,c為何值時(shí)，

等號(hào)成立.

Answer 1

證明：(證法一)

       因?yàn)?i>a,b,c均為正數(shù)，由平均值不等式得

       a²+b²+c²≥                                                                                                 ①

              ≥

       所以≥.                               ②                 

       故a²+b²+c²+≥

       又≥，          ③          

       所以原不等式成立.

       當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),①式和②式等號(hào)成立.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), ③式等號(hào)成立.

       即當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí),原式等號(hào)成立.                       

       (證法二)

       因?yàn)閍,b,c均為正數(shù),由基本不等式

       a²+b²≥2ab,

       b²+c²≥2bc

       c²+a²≥2ac.

       所以a²+b²+c²≥ab+bc+ac                          ①

       同理≥         ②                 

       故a²+b²+c²+()²

       ≥ab+bc+ac+3+3+3                

       ≥6.                                                   ③          

       所以原不等式成立

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),①式和②式等號(hào)成立,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c,(ab)²=(bc)²=(ac)²=3時(shí),③式等號(hào)成立.

       即當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí),原式等號(hào)成立.