Question

如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓C₁與雙曲線C₂的公共焦點，點P是橢圓和雙曲線的一個交點，并且PF₁⊥PF₂，e₁，e₂分別是橢圓和雙曲線的離心率，則（　�。�

• A、e₁e₂≥2
• B、e12+e22≥4
• C、

  1

  e12

  +

  1

  e22

  =2
• D、e1+e2≥2

  2

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì),橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，雙曲線的方程為

x2

m2

-

y2

n2

=1，由題設條件，結合雙曲線和橢圓的定義能推導出a²+m²=2c²，由此能求出結果．

解答： 解：設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
雙曲線的方程為

x2

m2

-

y2

n2

=1，
則|PF₁|+|PF₂|=2a，∴|PF₁|²+|PF₂|²+2|PF₁|•|PF₂|=4a²，（1）
||PF₁|-|PF₂||=2m，∴|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|=4m²，（2）
∵PF₁⊥PF₂，∴|PF₁|²+|PF₂|²=4c²，
[（1）+（2）]÷2，得
|PF₁|²+|PF₂|²=2a²+2m²=4c²，
∴a²+m²=2c²，
∴

a2

c2

+

m2

c2

=2，
∴

1

e12

+

1

e22

=2，
故選：C．

點評：本題考查雙曲線和橢圓的離心率的性質(zhì)，是中檔題，解題時要認真審題，要熟練掌握雙曲線、橢圓的簡單性質(zhì)．