Question

已知F₁（-c，0）、F₂（c，0）是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓E上．
（Ⅰ）若∠F₁MF₂的最大值是

π

2

，求橢圓E的離心率；
（Ⅱ）設(shè)直線x=my+c與橢圓E交于P、Q兩點(diǎn)，過P、Q兩點(diǎn)分別作橢圓E的切線l₁，l₂，且l₁與l₂交于點(diǎn)R，試問：當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)R是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由∠F₁MF₂的最大值是

π

2

，?推導(dǎo)出cos∠F₁MF₂=

4a2-4c2

2|PF1|•|PF2|

-1≥

2b2

a2

-1=0，由此能求出橢圓的離心率．
（Ⅱ）當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)R恒在一條定直線x=

a2

c

上．先證明橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)M（x₀，y₀）的切線方程是

x0x

a2

+

y0y

b2

=1，由此能夠證明當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)R恒在一條定直線上．

解答： 解：（Ⅰ）∵F₁（-c，0）、F₂（c，0）是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)，
點(diǎn)M在橢圓E上，∠F₁MF₂的最大值是

π

2

，?
|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴cos∠F₁MF₂=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1|•|PF2|

=

[|PF1|+|PF2|]2-2|PF1|•|PF2|-|F1F2|2

2|PF1|•|PF2|

=

4a2-4c2

2|PF1|•|PF2|

-1≥

2b2

a2

-1=0，
∴a²=2b²=2c²，∴a=

2

c，
∴e=

c

a

=

2

2

．
（Ⅱ）當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)R恒在一條定直線x=

a2

c

上．
證明：先證明橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)M（x₀，y₀）的切線方程是

x0x

a2

+

y0y

b2

=1，
當(dāng)x₀y₀≠0時(shí)，設(shè)切線方程為：y-y₀=k（x-x₀），
與橢圓方程聯(lián)立并整理，得：
（b²+a²k²）x²+2a²k（y₀-kx₀）x+a²（y₀-kx₀）²-a²b²=0，
由△=0及

x02

a2

+

y02

b2

=1，得（

ay0

b

k+

bx0

a

）²=0，
∴k=-

b2x0

a2y0

，
∴切線方程是

x0x

a2

+

y0y

b2

=1
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則l₁的方程是

x1x

a2

+

y1y

b2

=1，
l₂的方程是

x   2 x

a2

+

y2y

b2

=1，
聯(lián)立方程組，解得x=

a2(y2-y1)

x1y2-x2y1

，
又∵x₁=my₁+c，x₂=my₂+1，
∴x₁y₂-x₂y₁=（my₁+c）y₂-（my₂+c）y₁-c（y₂-y₁），
∴xR=

a2(y2-y1)

x1y2-x2y1

=

a2

c

，當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)R恒在一條定直線上，

點(diǎn)評：本題考查橢圓的離心率的求法，考查點(diǎn)是否恒在一條直線上的證明，綜合性強(qiáng)，難度大，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用，