Question

【題目】已知一列非零向量滿足：，.

（1）寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求出向量與的夾角，并將中所有與平行的向量取出來，按原來的順序排成一列，組成新的數(shù)列，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求點(diǎn)列的坐標(biāo)；

（3）令（），求的極限點(diǎn)位置.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）得出，運(yùn)用等比數(shù)列的定義判斷，即可求出通項(xiàng)公式.

（2）利用向量的數(shù)量積得出從而有：，即可求得與的夾角；

先利用數(shù)學(xué)歸納法易證成立從而得出：．結(jié)合等比數(shù)列的求得公式及數(shù)列的極限即可求得點(diǎn)列的坐標(biāo)；

（3）將分組，利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求出的坐標(biāo)，再求極限即可求出的極限點(diǎn)坐標(biāo).

解：（1）

，

數(shù)列是以，的等比數(shù)列，

（2）

，

，，

與的夾角為

，

，

，

一般地，，

用數(shù)學(xué)歸納法易證成立．

設(shè)

；

，

所以點(diǎn)列的坐標(biāo)為

（3）由（2）知與的夾角為，

所以在中，與向量共線的向量為，，，……共個(gè)，

與向量共線的向量為，，，……共個(gè)，

與向量共線的向量為，，，……共個(gè)，

與向量共線的向量為，，，……共個(gè)，

的極限點(diǎn)位置為.