Question

圓x²+y²-2x-6y+9=0關(guān)于直線2x+y+5=0對稱的圓的方程是

 

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Answer 1

分析：把圓的方程化為標準方程，求出圓心和半徑，設出對稱圓心，利用中點在垂線上，圓心連線的斜率與已知直線的斜率為負倒數(shù)，求出圓心坐標，即可得到所求圓的方程．

解答：解：x²+y²-2x-6y+9=0
化成標準形式：（x-1）²+（y-3）²=1
圓心為（1，3），半徑為 r₁=1
設對稱圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²
圓心為（a，b），則半徑 r₂=1
∵對稱圓與圓x²+y²-2x-6y+9=0 關(guān)于直線2x+y+5=0對稱
即對稱圓的圓心（a，b）與圓心（1，3）關(guān)于直線2x+y+5=0對稱

b-3

a-1

=

1

2

   化簡得       a-2b+5=0   ①
2×

a+1

2

+

3+b

2

+5=0  化簡得        2a+b+15=0     ②
①+2×②得  a=-7
將 a=-4代入①中可得  b=-1
所以對稱圓的方程是 （x+4）²+（y+1）²=1
故答案為（x+4）²+（y+1）²=1

點評：本題是基礎題，考查關(guān)于點、直線對稱的圓的方程，解題的關(guān)鍵是：垂直、平分關(guān)系的應用，對稱圓的半徑與已知圓的半徑相等的關(guān)系．仔細審題，詳細解答，體現(xiàn)數(shù)學素養(yǎng)．