Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求證：；

（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）將代入函數(shù)的表達(dá)式，求出f′（x），解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到最小值，即可證明；
（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的極值，進(jìn)而求出函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

（1）證明：當(dāng)時(shí)，，則.

由.得.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù).在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，

所以是的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn).且，

故當(dāng)時(shí).恒成立.

（2）解：據(jù)題意，得.

①當(dāng)時(shí)，恒成立.則函數(shù)在上是減函數(shù)。

又，所以函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).

②當(dāng)時(shí).由，得.

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，

所以在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù).

所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，

即.

令，

則，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，

從而是函數(shù)的極大值點(diǎn).也是最大值點(diǎn)，所以，

即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)

當(dāng)，即，且時(shí)，分和兩種情況討論：

（i）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>，所以在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)；又，因此有兩個(gè)零點(diǎn).

（ii）當(dāng)時(shí)，；

由（1），得.即，亦即.

令.則得，即，

所以，

所以在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)等點(diǎn).

又，

因此函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

由（i）和（ii），得當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng).且時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)。