Question

【題目】已知數(shù)列的前項和為，且，.

（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求實數(shù)的值；

（2）若數(shù)列滿足，且，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（3）設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，試探究當正實數(shù)滿足什么條件時，數(shù)列具有如下性質(zhì)：對于任意的，都存在使得，寫出你的探求過程，并求出滿足條件的正實數(shù)的集合.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）首先根據(jù)，，求出，再計算即可.

（2）首先由得到，由且，得到數(shù)列的通項公式，即可證明數(shù)列是等差數(shù)列.

（3）有題意得：，然后對分類討論，可知當，，時，數(shù)列不具有性質(zhì).當時，對任意，，都有，即當時，數(shù)列具有性質(zhì).

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，

解得，則，

所以.

（2）因為，

所以，

解得，

因為，，，

當為奇數(shù)時，.

當為偶數(shù)時，.

所以對任意，都有.

當時，，即數(shù)列是等差數(shù)列.

（3）解：由題意，是等比數(shù)列，.

①當時，，

所以對任意，都有，

因此數(shù)列不具有性質(zhì).

②當時，，.

所以對任意，都有，

因此數(shù)列不具有性質(zhì).

③當時，.

，

.

取（表示不小于的最小整數(shù)），

則，.

所以對于任意，.

即對于任意，都不在區(qū)間內(nèi)，

所以數(shù)列不具有性質(zhì).

④當時，，且，

即對任意，，都有，

所以當時，數(shù)列具有性質(zhì).

綜上，使得數(shù)列具有性質(zhì)的正實數(shù)的集合為.